Hallo, guten Morgen allerseits. Wir versuchen uns gerade die Grundlagen der statistischen

Physik durch so eine heuristische Einführung zu erarbeiten. Und ich will nochmal kurz

wiederholen worauf wir in der letzten Stunde gestoßen waren. Wir hatten damit begonnen,

dass wir einfach betrachtet haben ein paar Teilchen im Kasten mit beliebigen Anfangsbedingungen.

Wir haben dann gesehen, wie die Stöße zwischen den Teilchen die Energie umverteilen und nach

einiger Zeit sich in Zustand einstellt, in dem zwar ständig alles in Bewegung ist, aber

sozusagen statistisch ändert sich nichts mehr. Und wir haben dann als erstes uns angeschaut,

was ist die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen. Und wir sind auf eine recht einfache

Verteilung gestoßen, eine Gaussverteilung, eben die Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Das

heißt, die Wahrscheinlichkeitsdichte für diese Geschwindigkeitsverteilung hat sich herausgestellt

als e hoch minus V² multipliziert mit einer Konstante, zu der ich gleich noch was sage.

Aber allein schon diese Form verrät uns. Erstens, es ist eine Gaussverteilung. Zweitens,

es hängt nur vom Betrag der Geschwindigkeit ab. Das heißt, die Verteilung ist isotrop.

Jede Geschwindigkeitsrichtung ist gleichwahrscheinlich. Drittens, auch wenn Sie sich einzelne Geschwindigkeitskomponenten

anschauen, zum Beispiel Vx und Vy, dann sind die unabhängig voneinander verteilt, weil

V² ist ja Vx² plus Vy² plus Vz². Wenn Sie im Exponenten eine Summe haben, dann zerlegt

sich eben die Exponentialfunktion in ein Produkt. Das bedeutet Unabhängigkeit für die Wahrscheinlichkeitsdichten.

Dann hatten wir noch mehr herausgefunden. Wir hatten betrachteten Gemisch aus zwei verschiedenen

Teilchensorten mit verschiedenen Massen. Wir hatten dann gemerkt, dass nach einiger

Zeit sich die kinetischen Energien der verschiedenen Teilchensorten einander angleichen. Das kann

man auch in diese Verteilung hineinschreiben. Das sollte man so ausdrücken, dass man da

tatsächlich die kinetische Energie stehen hat und dann eine gemeinsame Konstante, die

unabhängig ist von der Masse. Das sorgt dafür, dass die kinetischen Energien für die verschiedenen

Massen gleich sind. Und so wie es da steht, kann es natürlich nicht stimmen, weil im

Exponenten muss unbedingt eine dimensionslose Größe stehen. Also müssen wir diese Energie,

die da steht, noch dividieren durch irgendeine Konstante. Wie gesagt, die Konstante ist dieselbe

für alle Teilchensorten. Und diese Konstante hat die Dimension einer Energie. Und da haben

wir einen Namen gegeben, da haben wir gesagt, das ist Karbolzmann mal T. Karbolzmann mal

die Temperatur. Karbolzmann ist einfach eine Umwandlungskonstante, die Kelvin in Joule

umwandelt. Die ist sozusagen nur aus historischen Gründen nötig. Und dann steht da die Temperatur.

Am Ende der letzten Stunde kam dann noch die Frage auf, woher wissen wir denn, dass das

die Temperatur ist, so wie wir sie kennen. Und die Antwort wäre, das ist sozusagen die

grundlegende Definition der Temperatur aus der Boltzmann-Verteilung. Und jeder, der dann

ein Thermometer baut, muss nachweisen, dass sein Thermometer tatsächlich wenigstens näherungsweise,

wenigstens in einem gewissen Temperaturintervall diese Temperatur reproduziert. Gut, das war

jetzt die Geschwindigkeitsverteilung. Nun kann man sich als nächstes fragen, was passiert

denn beispielsweise, wenn man externe Kräfte hat, beispielsweise ein elektrisches Feld

oder ein Gravitationsfeld oder völlig beliebige externe Potenziale. Und wir hatten so ein

Beispiel gehabt, wo hier sich eine Potenzialmulde befunden hat und wir haben gesehen, dass da

sich die Teilchen bevorzugt ansammeln und in dem Potenzialberg, den haben sie vermieden.

Und wir haben dann wieder eine Hypothese angesetzt. Wir haben gesagt, es könnte ja so sein, dass

die Verteilung der Dichte in diesem externen Potenzial eine ähnlich einfache Gestalt hat.

Und weil hier oben nun schon die kinetische Energie steht, könnte es ja sein, dass man

da dann einfach nur noch die potenzielle Energie reinschreiben braucht. Und wir hatten weiter

die Hypothese aufgestellt und die hatten wir nicht direkt getestet, aber die wäre wahr,

dass die Verteilung im Ort und die Verteilung in der Geschwindigkeit tatsächlich unabhängig

voneinander sind. Egal, wo sie sich befinden, die Geschwindigkeitsverteilung ist immer

dieselbe Maxwell-Boltzmann-Verteilung zur selben Temperatur. Und wenn die also unabhängig

voneinander sind, dann würde hier stehen das Produkt aus zwei solchen Funktionen oder

ich kann genauso gut im Exponenten die Summe bilden. Und da steht dann also noch die potenzielle